Шарнирно-опёртая балка с нагрузкой в середине
Это самая широко используемая модель в строительной механике. Балка, лежащая на двух опорах — шарнирной и подвижной, — с сосредоточенной нагрузкой посередине пролёта описывает балку перекрытия, элемент моста, станину станка, полку между стойками или вал на двух подшипниках.
Поскольку балка оперта с обеих сторон, она намного жёстче консоли той же длины: в формуле прогиба посередине стоит множитель 48 вместо 3, поэтому та же нагрузка даёт примерно в шестнадцать раз меньший прогиб.
Калькулятор ниже заранее настроен именно на этот случай: стальной прут диаметром 25 мм, пролёт 2 м, нагрузка 500 Н по центру.
Калькулятор
Этот калькулятор уже настроен на задачу выше. Измените длину, нагрузку, сечение или материал — расчёт выполнится сразу, а в адресной строке сохранится ссылка на вашу точную схему.
Исходные данные:
Конфигурация:
Материал: Construction steel (Обычные)
Профиль:
| Ax: 78.54mm2 | Jxx: 981.75mm4 |
| Asy: 78.54mm2 | Iyy 490.87mm4 |
| Asz: 78.54mm2 | Izz: 490.87mm4 |
Рассчет:
Смещения (мм):
| # | x | y | zz |
|---|
Реакции (newtons):
| # | x | y | zz |
|---|
Прямая ссылка на эту схему: https://beamcalc.net/ru/solve/simply-supported-mid-load#v1-AQsAAPpEAADIQZQBAQIAAAAAAAD6QwAAAAA
Как смоделирована балка
- Левая опора — шарнир: она не допускает ни смещений, ни поворота.
- Правая опора — подвижный шарнир: она не допускает вертикальных смещений, но позволяет балке удлиняться и поворачиваться.
- В середине пролёта приложена вертикальная точечная нагрузка, направленная вниз.
- Балка — стальной прут диаметром 25 мм длиной 2000 мм.
Как читать результаты
Наибольший прогиб возникает посередине пролёта, прямо под нагрузкой, и там же достигает максимума изгибающий момент — для центральной нагрузки M_max = F * L / 4.
Каждая опора воспринимает половину нагрузки. Поскольку подвижная опора свободно перемещается, нагрев балки не создаёт продольной силы — именно поэтому реальные балки делают так, а не защёлкивают с обеих сторон.
Если сместить нагрузку от центра, максимум прогиба переместится вместе с ней, а большая реакция опоры окажется со стороны нагрузки. Приведённые ниже формулы работают для любого положения нагрузки в пролёте.
Формулы
| Формула | Что она даёт |
|---|---|
delta_max = F * L^3 / (48 * E * I) | Прогиб под нагрузкой в середине пролёта. |
M_max = F * L / 4 | Изгибающий момент под нагрузкой. |
R_left = R_right = F / 2 | Реакции опор при центральной нагрузке. |
delta_load = F * a^2 * b^2 / (3 * E * I * L) | Прогиб в точке приложения нагрузки, если она приложена на расстоянии a от левой опоры и b от правой. При центральной нагрузке это же значение является и наибольшим прогибом. |
Частые вопросы
Чем шарнирная опора отличается от подвижной?
Шарнирная опора не допускает смещений ни в одном направлении и поворота, подвижная — только вертикальных смещений. Применение одной и другой делает балку статически определимой и позволяет ей удлиняться при нагреве без возникновения продольной силы.
Какую нагрузку воспринимает каждая опора?
При центральной нагрузке — по половине. При нагрузке вне центра доля каждой опоры обратно пропорциональна её расстоянию до нагрузки, поэтому нагружена сильнее опора, ближайшая к нагрузке.
Эпюра изгибающего момента имеет вид треугольника?
Для одиночной центральной нагрузки — да: она нарастает линейно от нуля у опор до F * L / 4 под нагрузкой. При нескольких нагрузках эпюра складывается из соответствующих треугольников.
Учитывается ли собственный вес балки?
Нет, учитываются только введённые вами нагрузки. Для длинных или тяжёлых балок добавьте собственный вес отдельной нагрузкой, чтобы результат был реалистичным.
Ещё примеры балок
- Шарнирно-опёртая балка с внецентренной нагрузкой Прямоугольная стальная балка на двух опорах с нагрузкой в трети пролёта: положение нагрузки определяет, какая опора нагружена сильнее.
- Шарнирно-опёртая балка с двумя точечными нагрузками Стальная труба на двух опорах с двумя равными нагрузками: средний участок изгибается без поперечной силы, как в испытании по четырём точкам.
- Шарнирно-опёртая балка с наклонной нагрузкой Сила, давящая под углом на опёртую балку: разложите её на изгибающую и продольную составляющие — гнёт балку только первая.
- Стальная труба с нагрузкой посередине Стальная труба на двух опорах с нагрузкой в середине пролёта: насколько она прогибается и какие размеры трубы действительно важны.