Односторонне защемлённая балка с нагрузкой посередине
Односторонне защемлённая балка — это балка, жёстко закреплённая с одного конца и шарнирно опертая с другого. Это естественный следующий шаг после схемы «шарнир — подвижный шарнир», потому что одних уравнений равновесия уже недостаточно: конструкция статически неопределима, а распределение нагрузки между опорами зависит от жёсткости балки.
Такая схема на практике встречается повсюду — полка с дополнительной оттяжкой, вал механизма, зажатый с одного конца и лежащий на подшипнике с другого, консоль на стене с упором.
Калькулятор ниже настроен на стальной прут диаметром 30 мм длиной 2000 мм, защемлённый слева и опёртый на подвижный шарнир справа, с нагрузкой 400 Н посередине пролёта.
Калькулятор
Этот калькулятор уже настроен на задачу выше. Измените длину, нагрузку, сечение или материал — расчёт выполнится сразу, а в адресной строке сохранится ссылка на вашу точную схему.
Исходные данные:
Конфигурация:
Материал: Construction steel (Обычные)
Профиль:
| Ax: 78.54mm2 | Jxx: 981.75mm4 |
| Asy: 78.54mm2 | Iyy 490.87mm4 |
| Asz: 78.54mm2 | Izz: 490.87mm4 |
Рассчет:
Смещения (мм):
| # | x | y | zz |
|---|
Реакции (newtons):
| # | x | y | zz |
|---|
Прямая ссылка на эту схему: https://beamcalc.net/ru/solve/propped-cantilever-mid-load#v1-AQkAAPpEAADwQZQBAQIAAAAAAADIQwAAAAA
Как смоделирована балка
- Левый конец жёстко защемлён: он воспринимает вертикальную и горизонтальную силы, а также изгибающий момент.
- Правый конец опирается на подвижный шарнир: он воспринимает только вертикальную силу и допускает поворот и продольное перемещение.
- В середине пролёта приложена вертикальная точечная нагрузка 400 Н, направленная вниз.
- Балка — стальной прут диаметром 30 мм длиной 2000 мм.
Как читать результаты
Основную работу ведёт защемлённый конец: он принимает одиннадцать шестнадцатых нагрузки, а подвижная опора — лишь пять шестнадцатых. Разделение не равное и не подчиняется простому правилу рычага, поскольку заделка ещё и воспринимает момент.
Изгибающий момент меняет знак вдоль балки. У защемления он отрицательный — выгиб, растягивающий верхние волокна, — а под нагрузкой положительный — провисание. Оба значения важны для реальной балки, ведь стали приходится работать и так, и так.
Прогиб значительно меньше, чем у той же балки на двух шарнирных опорах, а максимум больше не приходится точно на середину пролёта: он смещается к подвижной опоре, поскольку заделка подавляет поворот.
Поскольку решение зависит от жёсткости, оно зависит и от сечения и модуля упругости: в отличие от балки «шарнир — подвижный шарнир», эту задачу нельзя решить одной только геометрией.
Формулы
| Формула | Что она даёт |
|---|---|
R_roller = 5 * F / 16, R_fixed = 11 * F / 16 | Реакции опор. Защемлённый конец нагружен сильнее. |
M_fixed = -3 * F * L / 16 | Изгибающий момент в заделке; он отрицательный, так как балка выгибается вверх. |
M_mid = 5 * F * L / 32 | Изгибающий момент под нагрузкой в середине пролёта. |
delta_mid = 7 * F * L^3 / (768 * E * I) | Прогиб под нагрузкой. Наибольший прогиб примерно на два процента больше и расположен чуть правее середины пролёта. |
Частые вопросы
Почему эта балка статически неопределима?
Потому что опорных реакций больше, чем позволяет определить равновесие: вертикальная сила и момент в заделке плюс вертикальная реакция подвижной опоры не находятся из условий равновесия сил и моментов, поэтому привлекается условие деформации балки.
Почему защёмленный конец несёт больше половины нагрузки?
Потому что это более жёсткий конец: он не даёт балке повернуться, поэтому опирается на него сильнее, чем подсказывало бы простое правило рычага.
Что произойдёт, если убрать подвижную опору?
Получится обычная консоль, и прогиб под той же центральной нагрузкой вырастет в несколько раз: балка лишается и концевой опоры, и ограничения поворота, которое она давала.
Наибольший прогиб приходится на середину пролёта?
Нет. Он примерно на два процента больше значения посередине и расположен чуть ближе к подвижной опоре, где балка меньше стеснена.
Ещё примеры балок
- Балка, защемлённая с обоих концов, с нагрузкой посередине Замкнутая балка с жёсткими заделками на обоих опорах: самая жёсткая однопролётная схема и одновременно с самыми большими опорными моментами.