Балка, защемлённая с обоих концов, с нагрузкой посередине
Когда оба конца балки заделаны, конструкция становится максимально жёстким однопролётным пролётом: ни один из концов не может ни сдвинуться, ни повернуться, поэтому балка воспринимает нагрузку с долей прогиба, которую показала бы шарнирно-опёртая балка.
Именно так работают сварные рамы, корпуса механизмов и металлоконструкции, и именно так ведёт себя балка, заделанная в бетон. Платой служат опоры: в них возникают собственные изгибающие моменты, которые должен воспринимать узел крепления.
Калькулятор ниже моделирует квадратную нержавеющую трубу 40×40 мм со стенкой 2,5 мм пролётом 2000 мм между двумя заделками с нагрузкой 400 Н посередине пролёта.
Калькулятор
Этот калькулятор уже настроен на задачу выше. Измените длину, нагрузку, сечение или материал — расчёт выполнится сразу, а в адресной строке сохранится ссылка на вашу точную схему.
Исходные данные:
Конфигурация:
Материал: Construction steel (Обычные)
Профиль:
| Ax: 78.54mm2 | Jxx: 981.75mm4 |
| Asy: 78.54mm2 | Iyy 490.87mm4 |
| Asz: 78.54mm2 | Izz: 490.87mm4 |
Рассчет:
Смещения (мм):
| # | x | y | zz |
|---|
Реакции (newtons):
| # | x | y | zz |
|---|
Прямая ссылка на эту схему: https://beamcalc.net/ru/solve/fixed-fixed-mid-load#v1-ATUAAPpEAAAgQgAAIEIAACBAlQEBAgAAAAAAAMhDAAAAAA
Как смоделирована балка
- Оба конца жёстко защемлены: ни смещения, ни поворота ни на одной из опор.
- В середине пролёта приложена вертикальная точечная нагрузка 400 Н, направленная вниз.
- Сечение — квадратная полая труба: 40 на 40 мм при толщине стенки 2,5 мм.
- Пролёт составляет 2000 мм, материал — нержавеющая сталь.
Как читать результаты
Прогиб посередине пролёта в четыре раза меньше, чем показала бы та же балка на шарнирных опорах: в работе балка с заделками жёстче вчетверо, ради этого конструкции и делают замкнутыми.
Изгибающий момент меняет знак вдоль балки: над опорами он выгибной, под нагрузкой — провисающий. Для одиночной центральной точки на однородной балке оба значения равны F L / 8 — удобное правило для ориентировочной оценки.
Каждая опора воспринимает половину нагрузки, а поскольку оба конца заделаны, продольная связь работает полностью: при изменении температуры или нагрузке вдоль оси балки здесь возникает настоящая продольная сила, в отличие от схемы «шарнир — подвижный шарнир».
Прежде чем доверять числам, проверьте узел: модель считает идеально жёсткую заделку, а реальный сварной или болтовой узел всегда поворачивается немного, и от этого прогиб возрастает.
Формулы
| Формула | Что она даёт |
|---|---|
R_left = R_right = F / 2 | Реакции опор; симметрия делит нагрузку поровну. |
M_support = -F * L / 8 | Изгибающий момент в каждой заделке, выгибной. |
M_mid = F * L / 8 | Изгибающий момент под нагрузкой, провисающий. |
delta_max = F * L^3 / (192 * E * I) | Прогиб посередине пролёта — наибольший. |
Частые вопросы
Насколько жёстче балка с заделками по сравнению с шарнирно-опёртой?
В четыре раза при центральной точечной нагрузке: прогиб посередине равен F L³ / (192 E I) вместо F L³ / (48 E I).
Почему момент в опоре отрицательный?
По принятым обозначениям балка под нагрузкой провисает, а над опорами выгибается. В заделках искривление меняет знак, поэтому изгибающий момент меняет знак; узел крепления нужно рассчитывать именно на этот момент, а не только на вертикальную реакцию.
Почему моменты в опоре и посередине равны?
Для одиночной центральной точечной нагрузки на однородной балке оба значения равны F L / 8. При любой другой схеме нагружения они различаются, поэтому равенство — частный случай, а не правило.
Что будет, если реальные опоры поворачиваются немного?
Тогда балка окажется где-то между схемой с заделками и шарнирно-опёртой. Поскольку прогиб в модели с заделками является нижней границей, реальный прогиб будет больше; полезной проверкой будет сравнить обе схемы.
Ещё примеры балок
- Односторонне защемлённая балка с нагрузкой посередине Балка, защемлённая с одного конца и опертая на подвижный шарнир с другого: классический шаг за пределы статически определимых схем.